Θεώρημα 1.2.1. (Λήμμα Neyman-Pearson)

Για τον έλεγχο της απλής μηδενικής υπόθεσης  έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης , η ελεγχοσυνάρτηση που ορίζεται ως εξής:

όπου οι σταθερές c (c > 0) και δ (0 < δ < 1) ορίζονται από τη σχέση

είναι η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση από όλες τις ελεγχοσυναρτήσεις που έχουν    σ.σ. a. Η σταθερά c λέγεται κρίσιμο σημείο ή σημείο αποκοπής.

Απόδειξη.

Ας θεωρήσουμε τα σύνολα:

,                ,               .

Η ελεγχοσυνάρτηση  ορίζεται ως εξής:

.

Για την ελεγχοσυνάρτηση  ισχύει ότι: 

                                                                                                                        (1.8)

Αν  είναι μία άλλη ελεγχοσυνάρτηση για την οποία ισχύει ότι:

                                                       (1.9)

θα δείξουμε ότι: .

Πράγματι:

.

Όμως λόγω των (1.8) και (1.9) έχουμε:

.

Επομένως .                                                  ο.ε.δ.

 





 

Περιεχόμενα