2.2.1. Ο.Ι.Ε. για Μονόπλευρες Υποθέσεις.

 

Θεώρημα 2.2.1.

Ας θεωρήσουμε την τ.μ. Χ με σ.π.  , , .

Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση πιθανοφάνειας  έχει την ιδιότητα του Μ..Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση .

Για τον έλεγχο της απλής αρχικής υπόθεσης  έναντι της σύνθετης εναλλακτικής υπόθεσης  η ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση:

,

όπου οι σταθερές ,  δίνονται από τη σχέση:

είναι Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της  έναντι της  σε σ.σ. a.

Απόδειξη.

     Ας υποθέσουμε ότι έχουμε να ελέγξουμε τις υποθέσεις  έναντι της  για κάποια τιμή .

     Από το Λήμμα Neyman-Pearson η Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση:

                                               .                                      (2.1)

     Όμως, η πιθανοφάνεια  έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π., δηλαδή αν

,                                       

τότε η συνάρτηση  είναι αύξουσα συνάρτηση του  και η ελεγχοσυνάρτηση (2.1) ισοδυναμεί με την ελεγχοσυνάρτηση

                                                    ,                                         (2.2)

όπου .

     Η παραπάνω ελεγχοσυνάρτηση είναι ισχυρότατη σε σ.σ. a και οι σταθερές ,  δίνονται από τη σχέση:

,

όπου:

                               .                          (2.3)

Από τις σχέσεις (2.2) και (2.3) προκύπτει ότι η ελεγχοσυνάρτηση  είναι ανεξάρτητη της τιμής , άρα είναι Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο των υποθέσεων  έναντι της .

 





 

Περιεχόμενα