Κεφάλαιο 3ο

Ελεγχοσυναρτήσεις Λόγου Πιθανοφανειών.

 

3.1. Εισαγωγή.

 Έστω το τ.δ.  από την κατανομή , ,  και . Θέλουμε να ελέγξουμε την αλήθεια της υπόθεσης  ως προς την εναλλακτική  σε κάποια σ.σ. a (). Αν   και , δηλαδή τα σύνολα  και  είναι μονοσύνολα, ο έλεγχος γίνεται με τη βοήθεια του Λήμματος Neyman-Pearson και στηρίζεται στο λόγο πιθανοφανειών . Αν όμως τα σύνολα   και  δεν είναι μονοσύνολα τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μία μέθοδο παραπλήσια που θα αναφέρουμε παρακάτω:

     Έστω και  . Θα περίμενε κανείς, αν η υπόθεση  είναι αληθής τα δύο αυτά μέγιστα (το supremum συμπίπτει με τη μέγιστη τιμή όταν το σύνολο ω είναι κλειστό) να συμπίπτουν. Γενικά, επειδή πάντα τα συμπεράσματά μας στηρίζονται σε κάποια δείγματα, θα περίμενε κανείς, πάντα όταν η  είναι αληθής, οι δύο τιμές, δηλαδή   και   να είναι σχεδόν ίσες.

     Επειδή , όπου  είναι ο εκτιμητής μεγίστης πιθανοφάνειας (Ε.Μ.Π.) του θ, όταν  και , όπου  ο Ε.Μ.Π. του θ θεωρούμε τον λόγο:

                                                 ,                    .                                    (3.1)

     Αν όμως η υπόθεση  είναι αληθής περιμένουμε μεγάλες τιμές του λ, ενώ όταν το λ παίρνει μικρές τιμές φαίνεται ¨πιο πιθανό¨ να μην ισχύει η . Έτσι η υπόθεση  απορρίπτεται όταν ο λόγος λ παίρνει τιμές μικρότερες από μία σταθερά c, που προσδιορίζεται με τη βοήθεια της σ.σ. a.

     Για να προσδιοριστεί η σταθερά c, πρέπει να είναι γνωστή η κατανομή που ακλουθεί ο λόγος λ, για αυτό και στην πράξη αντί του λόγου λ χρησιμοποιείται η ποσότητα , που ακολουθεί ασυμπτωτικά την κατανομή . Βέβαια τότε η περιοχή απόρριψης της υπόθεσης , θα καθοριστεί από μία σταθερά c΄ ώστε:

                                                            .                                                    (3.2)

     Οι ελεγχοσυναρτήσεις που προκύπτουν με αυτό τον τρόπο ονομάζονται ελεγχοσυναρτήσεις γενικευμένου λόγου πιθανοφανειών (Ε.Γ.Λ.Π.) Φυσικά μία από αυτές είναι και αυτή που αναφέρεται στο Λήμμα Neyman-Pearson. Οι Ε.Γ.Λ.Π πολλές φορές έχουν βέλτιστες ιδιότητες, όπως εκείνη του Ο.Ι. και Α.Ο.Ι. Η κατασκευή της  ανάγεται ουσιαστικά στην εύρεση του Ε.Μ.Π. της θ, ενώ της  στην εύρεση μίας τιμής , που να μεγιστοποιεί την ποσότητα , , πράγμα που πολλές φορές δεν είναι εύκολο. Βέβαια στις περισσότερες περιπτώσεις δεν υπάρχει αυτή η δυσκολία διότι το ω λαμβάνεται ως μονοσύνολο, δηλαδή: , οπότε .

 





 

Περιεχόμενα