3.3. Εφαρμογές.

 

3.3.1. Υποθέσεις για τη Μέση Τιμή Κανονικής Κατανομής.

 

Έστω το τ.δ.  από την κανονική κατανομή  , όπου  άγνωστο, . Θέλουμε να ελέγξουμε την υπόθεση:

όπου  δοσμένη τιμή.

     Ο παραμετρικός χώρος Ω είναι . Ο υποχώρος ω που χαρακτηρίζεται από την υπόθεση  είναι η κατακόρυφη ευθεία  .

     Θα ελέγξουμε την υπόθεση  με τη βοήθεια του γενικευμένου λόγου των πιθανοφανειών. Η πιθανοφάνεια είναι:

                               .                 (3.3)

Είναι γνωστό ότι οι εκτιμητές μεγίστης πιθανοφάνειας για το μ και το  δίνονται από τις σχέσεις:

        και  .                                     (3.4)

Επομένως: .                                                        (3.5)

     Για να μεγιστοποιήσουμε την ποσότητα L, όταν  θέτουμε  και βρίσκουμε ότι η τιμή του  που μεγιστοποιεί την ποσότητα L είναι:

.

Έτσι έχουμε: .                                                   (3.6)

     Ο λόγος των πιθανοφανειών γίνεται:

                                               .                                            (3.7)

     Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε την κατανομή του λ, δοθείσης της υπόθεσης  και να προσδιορίσουμε έναν αριθμό Α, ώστε η κρίσιμη (απορριπτική) περιοχή 0<λ<Α να δίνει την επιθυμητή πιθανότητα a απόρριψης της υπόθεσης , όταν αυτή είναι σωστή. Επειδή:

,

το λ γράφεται:

                                      .                                 (3.8)

όπου η μεταβλητή  με  ακολουθεί την t-κατανομή με n-1 βαθμούς ελευθερίας (β.ε.) όταν η υπόθεση  είναι σωστή.

     Παρατηρούμε ότι το λ είναι μία μονότονη συνάρτηση του  με αποτέλεσμα ο έλεγχος να γίνει ως προς  αντί για λ. Επειδή ο λόγος λ είναι φθίνουσα συνάρτηση του ,  μία περιοχή της μορφής 0<λ<Α ισοδυναμεί με μία κρίσιμη περιοχή , όπου το Β προσδιορίζεται ως εξής:  ή ισοδύναμα:

                         ,                (3.9)

όπου   είναι η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής της τ.μ. t η οποία ακολουθεί την κατανομή   με n-1 βαθμούς ελευθερίας, όταν η υπόθεση  ισχύει, όταν δηλαδή . Επειδή η κατανομή  είναι συμμετρική έχουμε:  και η (3.9) γίνεται  ή  δηλαδή . Συνοψίζουμε λοιπόν τον έλεγχο για την υπόθεση  ως εξής:

     Υπολογίζουμε την ποσότητα:

                                                       .                                         (3.10)

Αν είναι  η υπόθεση  γίνεται αποδεκτή, αλλιώς απορρίπτεται.

     Αξίζει στο σημείο αυτό να παρατηρήσουμε το εξής: Αν θέλουμε να βρούμε 1-a διάστημα εμπιστοσύνης (δ.ε.) για τη μέση τιμή της κατανομής, αυτό περιέχει τις τιμές μ για τις οποίες ισχύει:

                                         .                                (3.11)

Συμπεραίνουμε επομένως ότι ο έλεγχος της υπόθεσης  είναι ισοδύναμος με την εύρεση ενός δ.ε. με συντελεστή εμπιστοσύνης 1-a.

 





 

Περιεχόμενα