Παράδειγμα 1.2.1.

Δίνεται τ.δ.  από κατανομή Poisson P(θ) . Με τη βοήθεια του παραπάνω δείγματος να βρεθεί Ι.Ε. για τον έλεγχο της υπόθεσης   έναντι της υπόθεσης , σε σ.σ. a.

Λύση.

Η πιθανοφάνεια για την κατανομή Poisson είναι: , όπου  και .

 

Επομένως   και .

Σύμφωνα με το Λήμμα των Neyman-Pearson ο Ι.Ε. δίνεται από τη σχέση:

όπου οι σταθερές c και δ υπολογίζονται από τη σχέση: .

Έχουμε:

.

Συνεπώς:

.

Έτσι έχουμε:

.

Aν βάλουμε:  και με την υπόθεση ότι  η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι:

                                              ,  ,                              (1.12)

όπου οι σταθερές c και δ υπολογίζονται από τη σχέση:

,

γνωρίζοντας ότι η τ.μ. Τ ακολουθεί την κατανομή .

     Αν  η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι:

                                                  ,                                                      (1.13)

όπου οι σταθερές c0΄ και δ΄ υπολογίζονται από τη σχέση:

.

 

Εφαρμογές.

i)     Για n=15, θ0=0.2,  θ1=0.5 και a=0.05 να βρεθούν οι σταθερές c0 και δ και η ισχύς του ελέγχου.

Λύση.   

     Σε αυτή την περίπτωση παρατηρούμε ότι: . Επομένως η ελεγχοσυνάρτηση θα είναι της μορφής (1.12).

     Η τ.μ. Τ ακολουθεί την κατανομή  δηλ. την κατανομή  κάτω από την υπόθεση  και την κατανομή   δηλ. την κατανομή  κάτω από την υπόθεση .

     Επίσης ισχύει ότι:

, δηλαδή .

Από τους πίνακες της κατανομής Poisson βρίσκουμε την τιμή c0 για την οποία ισχύει ότι: . Βρίσκουμε τελικά ότι για  ισχύει ότι: . Επομένως:

 δηλαδή   ή .

     Η ισχύς του ελέγχου δίνεται από τον τύπο:

  . Τελικά .

 

ii)     Να γίνει ο έλεγχος των υποθέσεων:

για ένα δείγμα μεγέθους n=20 σε σ.σ.  a=0.05 και να βρεθεί η ισχύς του ελέγχου.

Λύση.

     Η ελεγχοσυνάρτηση δίνεται από τους τύπους (1.13) διότι  δηλαδή:

όπου η στατιστική συνάρτηση Τ ακολουθεί την κατανομή  δηλ. την κατανομή  κάτω από την υπόθεση  και την κατανομή   δηλ. την κατανομή  κάτω από την υπόθεση .

Οι σταθερές c0΄ και δ΄ υπολογίζονται από τη σχέση:

.

Για  έχουμε:  και . Αντικαθιστώντας καταλήγουμε ότι: .

     Η ισχύς του ελέγχου δίνεται από τον τύπο:

Τελικά .

 

 

Παρατήρηση.

Αν ακολουθούσαμε την ίδια διαδικασία για να ελέγξουμε τις υποθέσεις:

σε σ.σ.  a=0.05 αλλά για ένα δείγμα μεγέθους n=12 η ισχύς του ελέγχου θα ήταν .

     Βλέπουμε λοιπόν πως επηρεάζει την ισχύ του ελέγχου το μέγεθος του δείγματος.

 





 

Περιεχόμενα