Θεώρημα 2.1.1.

Αν η μονοπαραμετρική κατανομή  ανήκει στην εκθετική οικογένεια κατανομών, δηλαδή είναι της μορφής:

,

, , τότε η  έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση  αν η  είναι αύξουσα, και ως προς τη συνάρτηση  αν η  είναι φθίνουσα. Επίσης η πιθανοφάνεια  έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς την συνάρτηση  ή τη συνάρτηση , αντίστοιχα.

Απόδειξη.

α)   Έστω ότι η  είναι αύξουσα. Θεωρούμε ότι .

Τότε:

και

.

Αφού η  είναι αύξουσα έπεται ότι, για :

.

Συνεπώς ο λόγος  είναι αύξουσα συνάρτηση του .

 

β)   Αν η  είναι φθίνουσα, τότε για  έπεται ότι:

.

Συνεπώς ο λόγος  είναι αύξουσα συνάρτηση του .                      

γ)   Η πιθανοφάνεια  γράφεται:

      .

      Η απόδειξη του ισχυρισμού είναι όμοια με τις περιπτώσεις α) και β).             ο.ε.δ.

 





 

Περιεχόμενα