Θεώρημα 2.2.2.

Έστω Χ τ.μ. με σ.π. , ,  και  ένα τ.δ. από αυτή την κατανομή. Υποθέτουμε ότι η πιθανοφάνεια  έχει την ιδιότητα του Μ.Λ.Π. ως προς τη συνάρτηση  . Τότε:

i)               Για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης  έναντι της εναλλακτικής , υπάρχει Ο.Ι.Ε. που δίνεται από τη σχέση:                              

                                          .                                         (2.4)

όπου  οι σταθερές ,  δίνονται από τη σχέση:

                                                      .                                                 (2.5)

ii)              Η συνάρτηση ισχύος  είναι αυστηρά αύξουσα για κάθε θ για το οποίο ισχύει ότι  .

Απόδειξη.

Στο θεώρημα 2.2.1 αποδείχθηκε ότι για τον έλεγχο της απλής υπόθεσης  έναντι της σύνθετης εναλλακτικής υπόθεσης  η ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση (2.4) είναι Ο.Ι.Ε. Πρέπει να αποδειχθεί ότι η ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση (2.4) είναι Ο.Ι.Ε. για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης  έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης . Αρκεί να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση ισχύος  είναι αύξουσα συνάρτηση του θ. Για αυτό θεωρούμε τις απλές υποθέσεις:

 και , όπου .

     Σύμφωνα με το Λήμμα των Neyman-Pearson η  απορρίπτεται όταν:

,

όπου η σταθερά  υπολογίζεται από τη σχέση: .

     Ο έλεγχος  είναι ισοδύναμος με τον έλεγχο:

                                                   ,                                          (2.6)

λόγω της ιδιότητας του Μ.Λ.Π. της πιθανοφάνειας .

     Ο έλεγχος  όπως αποδείχθηκε στο 1ο Κεφάλαιο, είναι αμερόληπτος. Επομένως:

                                             .                                 (2.7)

Συνεπώς η συνάρτηση  είναι αύξουσα συνάρτηση του θ. Ας υποθέσουμε στη συνέχεια ότι . Σύμφωνα με τη σχέση (2.7) ισχύει ότι:

.

     Η ελεγχοσυνάρτηση που ορίζεται από τη σχέση (2.6) είναι Ι.Ε. σε σ.σ. a για τις υποθέσεις  και αυτό ισχύει για κάθε  και για κάθε . Από αυτό συμπεραίνουμε ότι ο έλεγχος (2.6) είναι Ο.Ι.Ε. σε σ.σ.  για τον έλεγχο της αρχικής υπόθεσης  έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης .

 





 

Περιεχόμενα